Relativ portföljteori

Bakgrund

Den här artikeln redogör för hur gamla beprövade metoder, tillsammans med några enklare perspektivbyten, kan ge förvaltare verktyg att enklare följa och förklara portföljens utveckling relativt utfästa mål.

Markowitz visade redan 1952 hur man minimerar en portföljs risknivå, uttryckt som varians, givet en viss avkastning. Tillsammans med utvecklingen av CAPM ( (Lintner, 1965; Mossin, 1966; Sharpe, 1964; Treynor, 1961, 1962) presenterades verktygslådan som idag ligger i grund för modern portföljteori (”MPT”). Modellen har kritiserats för sin instabilitet, främst på grund av svårigheter att estimera korrelationer. Modellens prediktionsvärde är, precis som de flesta andra ekonomiska modeller, relativt begränsad. Trots det är modellen värdefull ur ett riskperspektiv och som hjälpmedel att förstå portföljers beteende.

En begränsning i modellen är att det endast finns en rätt allokering i en portföljsammansättning. Vill man minska risken i portföljen investerar man en andel av totalportföljen i den riskfria tillgången och håller de inbördes vikterna i den optimala portföljen konstanta.

Sharpe reviderar 1994 sina teorier kring riskjusterad avkastning genom att definiera den som fullt ut relativ där risken definieras som standardavvikelsen i överavkastningen, det vill säga som en spreadvolatilitet mellan portföljen (A) och den riskfria tillgången (B).

Han väljer dessutom att kalla den tidigare riskfria tillgången för benchmark i syfte att tydliggöra att denna kan utgöra såväl en statsskuldväxel som exempelvis ett aktieindex. En indexförvaltare väljer sitt benchmarkindex som riskfri tillgång och försöker därefter optimera sin Sharpe kvot (informationskvot) genom att välja vikter i portföljsammansättningen som ger en bättre riskjusterad avkastning än index i syfte att generera en väl avvägd överavkastning. När man betraktar en investering i en kort statsskuldväxel ur en indexförvaltares perspektiv ter sig investeringen tämligen riskfylld. I de fall marknaden faller kommer han bli hjälte men om marknaden istället stiger får han kanske istället sparken. Metoden att utgå från en riskfri portfölj och därefter söka högre avkastning genom att aktivt ta risk är generell och kan appliceras på i princip vilken förvaltning som helst. Nyckeln är att förstå när man är riskfri. Framöver benämns den riskfria portföljen som nollrisk.

Portföljer med nollrisk

Lite tillspetsat kan man hävda att väldigt få portföljer innebär nollrisk vid en investering i en statsskuldväxel så som traditionell MPT stipulerar. De flesta har en tanke om att medlen ska användas på något i förväg bestämt sätt i framtiden. Enkla exempel är framtida pensionsåtaganden eller en stiftelses utlovade donationer. För pensionsförvaltning under tillsyn är det relativt uppenbart att portföljen behöver ta hänsyn till annat än en kort ränteplacering då tillsynsmyndigheten ger en modell för beräkning av åtagandenas storlek och dynamik.

Om man utlovat ett fast belopp i framtiden utgör en ränteplacering med kortare löptid inte nollrisk. Då denna måste placeras om (rullas) ett flertal tillfällen fram till det tillfälle det utlovade beloppet ska betalas ut tar man risk på förändringar i räntenivån under tiden. Nollrisk utgörs av en fast ränteplacering med samma löptid som det utlovade åtagandet. Det bör även tilläggas att strategin att rulla en kort ränteplacering mot ett långt åtagande över tid ger för låg avkastning eftersom man då missar att tillgodogöra sig räntemarknadens löptidspremie.

Balansräkningsperspektivet 

I figuren har vi fasta åtaganden med ett nuvärde om 60 % samt ett överskott om 40%. I det fall nuvärdet av åtagandena skulle bli större än det samlade portföljvärdet är man insolvent. Man kan se det som att förvaltaren har till uppgift att försvara överskottet. Om åtagandena exempelvis har en löptid om tio år utgör motsvarande fast ränteplacering en riskfri placering för dessa 60%. Överskotten är riskfria om de placeras i exempelvis korta statsskuldväxlar. Den riskfria tillgången är således en korg av statsskuldväxlar till 40% samt tioårig fastränteplacering till 60%.

Modellen
Nollrisk utgörs i figuren av en korg med en ränta med kort löptid () och en ränta med lång löptid  med avkastningoch volatilitet  

En förenkling i vid beräkning av nollriskvolatilitet kan göras om man antar att den korta räntans volatilitet är noll. Volatiliteten blir då

När portföljens nollrisk identifierats kan man uttrycka portföljens alla tillgångar i termer av nollrisk, enligt resonemanget för relativ Sharpe kvot. Volatiliteten i den transformerade tillgången  kan betraktas som en spreadvolatilitet.

Tillgångarnas inbördes korrelationer är oförändrade vilket innebär att en klassisk portföljoptimering kan göras med hjälp av korrelationsmatrisen och de transformerade tillgångarnas risk.

Figur 3 visar en klassisk portföljoptimering där nollrisk utgörs av en kort ränta med noll i volatilitet. Figur 4 visar portföljoptimering efter en transformering av tillgångarna mot en ränta med lång duration som nollrisk. På samma sätt som för klassisk MPT återstår därefter att välja var på den effektiva fronten man känner sig bekväm med risknivån. Att bara uttrycka risk som volatilitet kan kännas abstrakt och man kan då välja ett riskmått som exempelvis sannolikheten för insolvens inom en viss tidsrymd. En trevlig egenskap med modellen är att efter transformationen är portföljen uttryckt som relativ dess åtaganden varvid måttet sannolikhet för insolvens utgör ett gränsvärde i portföljens avkastningsfördelning och därmed kan beräknas analytiskt.

Ett korrelationsperspektiv 

Om man på ett intuitivt sätt vill förstå transformationerna kan man tänka sig att man byter punkt från vilken man betraktar övriga tillgångar i en korrelationsmatris. Detta kan åskådliggöras genom en tvådimensionell reducering av matrisen enligt Figur 5.

Då man rör sig med pilen från en traditionell nollriskposition (brun) mot en ränta med lång duration (lila) som nollriskposition förändras avståndet till andra tillgångar (se Figur 5). Ett kort avstånd visar en hög korrelation. De tillgångar som kommer närmare vid förflyttningen blir relativt mer attraktiva i den transformerade portföljoptimeringen.

Avslutande kommentarer

Modellen får väldigt trevliga analytiska egenskaper givet att man nöjer sig med att modellera tillgångarnas förväntade avkastningar som normalfördelade. Det går givetvis att i samma anda använda mer avancerade modeller för tillgångarnas beteende i en simuleringsmodell men då går många av de intuitiva egenskaperna ofta förlorade. Alla som arbetat med portföljoptimering är väl medvetna om hur beroende resultatet är av parameterskattningar och antaganden. Den stora vinsten är egentligen den förståelse för portföljdynamiken man fått av själva arbetet. Jag rekommenderar därför enkla modeller där de intuitiva vinsterna är stora.

Referenser

Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios
Markowitz, H.M. (1952, Mars). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7 (1), 77–91.
Mossin, J. (1966). Equilibrium in a Capital Asset Market, Econometrica, Vol. 34, No. 4, pp. 768–783
Sharpe, W. F. (1966). Mutual Fund Performance. Journal of Business, 39 (S1), 119–138.
Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. Journal of Finance, 19 (3), 425–442.
Sharpe, W. F. (1994). The Sharpe Ratio. The Journal of Portfolio Management, 21 (1), 49–58.
Treynor, J. L. (1961). Market Value, Time, and Risk. Unpublished manuscript.
Treynor, J. L. (1962). Toward a Theory of Market Value of Risky Assets.

 


Ansvarsbegränsning

Detta material är producerat av Captor Investment Management AB. De som tagit fram innehållet är inte analytiker och materialet är inte oberoende investeringsanalys. Innehållet är uteslutande avsett för kunder i Norden. Syftet är att ge en allmän information om Captor Investment Management AB och utgör inte ett personligt investeringsråd eller en personlig rekommendation. Informationen ska inte ensamt utgöra underlag för investeringsbeslut. Kunder bör inhämta råd från sina rådgivare och basera sina investeringsbeslut utifrån egen erfarenhet. Ett finansiellt instruments historiska avkastning är inte en garanti för framtida avkastning. Värdet på finansiella instrument kan båda öka och minska och det är inte säkert att hela det investerade kapitalet återfås.